लेकिन इन सबके बावजूद, क्लैमकिन शायद गंभीर गणितीय प्रश्नों के प्रस्ताव के लिए जाने जाते थे। बेशक, ऐसा नहीं था कि वह जरूरी जवाब जानता था, या कम से कम तुरंत नहीं। इन चुनौतियों की पेशकश में, क्लैमकिन का उद्देश्य अनुसंधान के नए क्षेत्रों को खोलना था। उनके कई सवालों ने किताबों में जगह बना ली। एक की तरह उन्होंने दो अन्य गणितज्ञों के साथ सह-लेखन किया, पांच सौ गणितीय चुनौतियां; या पसंद है गणितीय समस्याओं का सूचकांक १९७५-१९७९: ५,००० से अधिक समस्याओं का संग्रह स्टेनली रैबिनोविट्ज़ और मार्क बोरॉन द्वारा; या पसंद है मरे क्लैमकिन से समस्याएं, जिसे दो गणितज्ञों ने उनकी मृत्यु के बाद प्रकाशित किया।
जनवरी 1978 में, क्लैमकिन ने भेजा गणित पत्रिका यह प्रश्न: “क्या ऐसी कोई अभाज्य संख्या मौजूद है कि यदि कोई अंक किसी अन्य अंक में बदल जाता है, तो परिणामी संख्या हमेशा मिश्रित होती है?” (समग्र का अर्थ है गैर-अभाज्य)।
उदाहरण के लिए, 79 लें, जो एक अभाज्य संख्या है। मैं ७ से ३, ४, ६, या ९ को बदल सकता था और हर बार मिश्रित संख्याएँ प्राप्त कर सकता था (३९, ४९, ६९ और ९९ में से कोई भी अभाज्य नहीं है)। लेकिन अगर मैंने इसे 1, 2, 5 या 8 में बदल दिया, तो हमारे पास एक और प्राइम (19, 29, 59, 89) है। इसी तरह का तर्क 79 में 9 पर लागू होता है। यानी 79 क्लैमकिन के पॉसर का जवाब नहीं देता है। 103 का प्रयास करें, एक प्रमुख भी। 1 से 5 बदलें और हमारे पास 503 है, जो अभाज्य है; क्लैमकिन को फिर से नाकाम कर दिया गया है। वह इसी तरह प्राइम 919, 4,021 और 48,281 द्वारा नाकाम कर दिया गया है- और, मैं शर्त लगाने के लिए तैयार हूं, कोई भी प्राइम जिसे आप नाम दें। तो आप देख सकते हैं कि उन्होंने यह सवाल क्यों पूछा।
इसके अलावा: शायद आपको आश्चर्य हो कि क्लैमकिन या कोई अन्य गणितज्ञ ऐसा प्रश्न क्यों पूछना और उसका उत्तर देना चाहेगा। वास्तविक दुनिया के लिए इसका क्या संभव उपयोग है? मुझे नहीं पता, लेकिन मुझे पता है कि यह सिर्फ एक तरह की पहेली है जिससे गणितीय रस बहता है। एक तरफ का अंत।
वैसे भी, गणित पत्रिका अपने मई १९७९ के अंक में क्लैमकिन का पोजर प्रकाशित किया। नीचे यह उल्लेखनीय हंगेरियन गणितज्ञ पॉल एर्डोस का एक समाधान था, जो उन शब्दों से शुरू हुआ था जो शायद किसी को भी आश्चर्यचकित नहीं करते जो उस व्यक्ति को जानते थे: “हम थोड़ा मजबूत परिणाम साबित करते हैं।” एर्डोस का सबूत लिनिक के प्रमेय और “वेल- बैंग-बिरखोफ-वंडिवर का ज्ञात प्रमेय” और बहुत कुछ, जो यह कहना है कि अपने तीसरे पैराग्राफ के बारे में, यह मेरी गणितीय क्षमताओं को पार कर गया है। गणितीय जोड़तोड़ के एक-डेढ़ पृष्ठ के बाद, एर्दो लिखते हैं “यह हमारे प्रमाण को पूरा करता है।”
लेकिन वह यहीं नहीं रुकता। वास्तव में, उन्होंने शुरुआत में इसे टेलीग्राफ किया था: “अंत में” [we will] कुछ टिप्पणियां करें और कुछ और समस्याएं बताएं।” (ध्यान दें कि कैसे एक समस्या अधिक समस्याओं को उत्तेजित करती है, कुछ और जो गणितज्ञों को प्रसन्न करती है)। अपने प्रमाण के बाद, एर्डोस इन पंक्तियों को लिखते हैं:
“हम यहां इस्तेमाल की गई विधियों से यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि असीम रूप से कई अभाज्य हैं” [of a certain type P] ताकि अगर हम एक साथ बदलते हैं [some of their] अंक हमें हमेशा एक भाज्य संख्या प्राप्त होती है। क्या यह सच है कि यदि [we take numbers of a certain type A] तो वहाँ हमेशा अभाज्य संख्याएँ होती हैं, वास्तव में उनमें से असीम रूप से कई होती हैं, ताकि [numbers formed by adding primes P and numbers A] मिश्रित हैं?”
इसे पचाने के लिए कुछ समय निकालें। वास्तव में, एर्डोस ने पहेली को अनंत के दायरे में ले लिया है – केवल एक प्राइम नहीं है जो क्लैमकिन का जवाब देता है, बल्कि उनमें से एक अनंत है – और यह उसे अन्य संबंधित दिशाओं में सोचने पर मजबूर करता है। इसलिए वह अन्य गणितज्ञों के लिए एक खुला प्रश्न छोड़ता है, जिसमें अनंत भी शामिल है।
चालीस साल बाद, दक्षिण कैरोलिना विश्वविद्यालय के दो गणितज्ञों, माइकल फिलासेटा और जैकब जुइलरैट ने इस खुले प्रश्न को संबोधित करते हुए एक पेपर प्रकाशित किया (लगातार प्राइम जो व्यापक रूप से डिजिटल रूप से नाजुक हैं, आर्क्सिव, bit.ly/3gAZ6bh) फिलासेटा और जुइलरैट क्लैमकिन और एर्दो को स्वीकार करके शुरू करते हैं। वे पाठकों को याद दिलाते हैं कि एर्डोस के “असीम रूप से कई प्राइम” जो क्लैमकिन के प्रश्न का उत्तर देते हैं, 2016 में, दो अन्य गणितज्ञों द्वारा स्वादिष्ट लेबल “डिजिटली नाजुक” दिया गया था। फिर वे लिखते हैं: “पहला डिजिटल रूप से नाजुक प्राइम 294,001 है,” और आप इसे अपने लिए देख सकते हैं। 294,001 में से किसी भी अंक को दूसरे में बदलें, और आपको एक समग्र संख्या मिलती है: उदाहरण के लिए, 294,501 और 694,001 दोनों मिश्रित हैं। वे यह भी ध्यान दें कि मिश्रित संख्याएँ हैं, जब आप उन्हें उसी तरह से हेरफेर करते हैं, तो केवल कंपोजिट का उत्पादन करते हैं। २१२,१५९ इस तरह का सबसे छोटा संमिश्र है, और फिर, आप इसे अपने लिए जाँच सकते हैं: उदाहरण के लिए, २१६,१५९ और २१२,१७९ कंपोजिट हैं।
लेकिन डिजिटल रूप से नाजुक के साथ चिपके रहना: 2020 में, फिलासेटा और यिर्मयाह साउथविक ने कुछ चौंकाने वाला साबित किया। आप आमतौर पर ऐसा नहीं करेंगे, लेकिन आप किसी भी संख्या को किसी भी संख्या में अग्रणी शून्य के साथ लिख सकते हैं। उदाहरण के लिए, आप अभाज्य 79 को 079, 0079 या 000000000079 के रूप में लिख सकते हैं। वे सभी अभी भी 79 हैं, फिर भी अभाज्य हैं; और वास्तव में, आप एक संख्या को अनंत संख्या में अग्रणी शून्य के साथ उपसर्ग कर सकते हैं, और यह वही रहेगा। फिलासेटा और साउथविक ने दिखाया कि ऐसे प्राइम हैं जो क्लैमकिन के प्रश्न का उत्तर देते हैं, भले ही आप उन्हें इस तरह से लिखें, किसी भी संख्या में अग्रणी शून्य के साथ। अर्थात्, “यदि का कोई अंक [such a prime], इनमें से किसी एक सहित [its] असीम रूप से कई अग्रणी शून्यों को किसी अन्य अंक से बदल दिया जाता है, तो परिणामी संख्या मिश्रित होती है।”
अगर आप इस बारे में सोचें तो यह किसी अचरज से कम नहीं है। इनमें से किसी एक अभाज्य को किसी भी संख्या में शून्य के साथ उपसर्ग करें, उनमें से किसी एक को इंगित करें और इसे किसी अन्य अंक में बदलें, और प्रीस्टो, जादू की तरह, जो आपको मिलता है वह समग्र है। फिलासेटा और साउथविक ने ऐसे प्राइम्स को “व्यापक रूप से डिजिटल रूप से नाजुक” कहा है। तो क्या 294,001, पहला डिजिटल रूप से नाजुक प्राइम, व्यापक रूप से डिजिटल रूप से नाजुक भी है? नहीं, क्योंकि आप इसे 00,294,001 के रूप में लिख सकते हैं, इसे पहले 0 से 1 में बदलें, और 10,294,001 प्राइम है। में वास्तव में, ये व्यापक रूप से डिजिटल रूप से नाजुक प्राइम कुछ हद तक ब्लैक होल की तरह होते हैं-उनका अस्तित्व सैद्धांतिक रूप से सिद्ध निश्चितता है, लेकिन “व्यापक रूप से नाजुक प्राइम का कोई विशिष्ट उदाहरण ज्ञात नहीं है।”
यदि यह काफी पेचीदा नहीं है, तो इस पत्र में फिलसेटा और जुइलरैट ने जो साबित किया है, वह बिल में फिट होना चाहिए। कोई बात नहीं कि हम अभी तक एक व्यापक रूप से डिजिटल रूप से नाजुक प्राइम के बारे में नहीं जानते हैं, आइए बस ध्यान रखें कि एक मौजूद है। लेकिन ऐसा नहीं है कि वहाँ है एक. ऐसा भी नहीं है कि कुछ ऐसे प्राइम। ऐसा भी नहीं है कि कोई असीमित संख्या ऐसे primes की, जो वहाँ है।
इन दो गणितज्ञों ने जो साबित किया है, वह यह है कि लगातार अभाज्य संख्याओं के तार होते हैं—जैसे कि ४१, ४३, ४७ और ५३ चार क्रमागत अभाज्य संख्याएँ हैं—जो हैं सब व्यापक रूप से डिजिटल रूप से नाजुक। लेकिन सिर्फ इतना ही नहीं। उन्होंने दिखाया कि ये तार किसी भी लम्बाई के हो सकते हैं। यानी, कोई भी संख्या चुनें—4, 89, 271,828, 31,415,926—हां, कोई भी संख्या, और कई लगातार प्राइम की एक स्ट्रिंग है जो सभी व्यापक रूप से डिजिटल रूप से नाजुक हैं।
और हम उनमें से किसी को भी नहीं जानते हैं। एक नहीं।
वैसे, यह शायद ही कोई विलाप हो। मैं ऐसा केवल इसलिए नहीं कह रहा हूं क्योंकि यह गणितज्ञों को खोजने के लिए बहुत कुछ छोड़ देता है, केवल इसलिए नहीं कि यह हमें अनंत के अर्थ की एक और झलक देता है। उन चीजों से भी अधिक, अज्ञात की यह सराहना ही गणित और विज्ञान को अधिक सामान्य रूप से इतना आकर्षक बनाती है।
पॉल एरडोस के ऊपर दिए गए सबूत के अंत में मैंने आपको चार शब्द नहीं बताए, उनके द्वारा पूछे गए प्रश्न के बाद। वे शब्द हैं: “मुझे नहीं पता।”
कभी कंप्यूटर वैज्ञानिक रहे दिलीप डिसूजा अब मुंबई में रहते हैं और अपने डिनर के लिए लिखते हैं। उनका ट्विटर हैंडल है @DeathEndsFun
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